2014年黃岡師范學院專升本《數學分析》考試大綱

黃岡師范學院
2014年專升本《數學分析》考試大綱

一、參考教材

華東師大數學系編，數學分析（上、下冊），高等教育出版社，2005，（第三版）

二、考試的內容及基本要求

第1章 實數集與函數

考試內容：

1．實數分類、實數的性質(對四則運算的封閉性、有序性、阿基米德性、稠密性)、絕對值與不等式；

2．區(qū)間、鄰域、數集、確界原理；

3．函數表示法、函數四則運算、復合函數、反函數、初等函數；

4．有界函數、單調函數、奇函數、偶函數、周期函數；

基本要求：

1、要熟練掌握實數域及性質；

2、掌握幾個常用的不等式；

3、熟練掌握鄰域，上確界，下確界，確界原理；

4、牢固掌握函數的復合法則、基本初等函數、初等函數及某些特性（單調性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第2章 數列極限

考試內容：

1．數列極限的“ ”定義及其幾何意義、無窮小數列；

2．收斂數列的唯一性、有界性、保號性、不等式、迫斂性、四則運算法則；

3．單調有界定理、柯西收斂準則。

基本要求：

1、要熟練掌握數列極限“ ”定義；

2、掌握收斂數列的若干性質；

3、掌握數列收斂的條件（單調有界原理、迫斂法則、柯西準則等）。

第3章 函數極限

考試內容：

1．函數極限概念的“ ”、“ ”定義，單側極限及其與極限的關系；

2．函數極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式、迫斂性、四則運算法則；

3．函數極限的單調有界定理、歸結原則、柯西準則；

4．兩個重要的極限 和 ；

5．無窮小量和無窮大量的比較。

基本要求：

1、熟練掌握使用“ ”，“ ”語言，能用不等式敘述各類型函數極限的概念；

2、掌握函數極限的若干性質；

3、掌握函數極限存在的條件（歸結原則，柯西準則，左、右極限、單調有界等）；

4、會熟練應用兩個特殊極限；

5、能掌握無窮小（大）的定義、性質、階的比較。

第4章 函數的連續(xù)性

考試內容：

1．函數在一點連續(xù)(左、右連續(xù))及間斷點的概念、間斷點的分類；

2．連續(xù)函數的局部有界性、局部保號性，連續(xù)函數的四則運算及復合函數的連續(xù)性；

3．閉區(qū)間上連續(xù)函數的最值性、介值性、根的存在性定理，反函數的連續(xù)性、初等函數的連續(xù)性、一致連續(xù)性。

基本要求：

1、要熟練掌握 在 點連續(xù)的定義和等價定義；

2、熟練掌握間斷點及其分類；

3、熟練掌握 在一點連續(xù)性質及在區(qū)間上連續(xù)性質；

4、熟練掌握初等函數的連續(xù)性。

第5章 導數和微分

考試內容：

1．切線問題、瞬時速度、導數定義、單側導數、導數的幾何意義、導函數；

2．導數的四則運算、反函數的導數、復合函數的導數；

3．微分的概念、微分的四則運算、一階微分形式不變性、近似計算與誤差估計；

4．高階導數與高階微分、參數方程和隱函數求導法。

基本要求：

1、熟練掌握導數的定義，幾何、物理意義；

2、牢固記住求導法則、求導公式；

3、會求各類的導數（復合、參量、隱函數、冪指函數、高階導數（萊布尼茲公式）；

4、掌握微分的概念，并會用微分進行近似計算；

5、掌握連續(xù)、可導、可微之間的關系。

第6章 微分中值定理及應用

考試內容：

1．費馬定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2． 型不定式極限、 型不定式極限、其它類型不定式極限；

3．函數的單調性與極值；

4．函數的凸凹性與拐點；

5．函數圖象的討論。

基本要求：

1、牢固掌握微分中值定理并會靈活應用；

2、 會用洛比達法則求極限，會將其他類型的不定型轉化為 和 型；

3、掌握 單調與 符號的關系，并用它證明 單調，不等式、求單調區(qū)間、極值等；

4、利用 判定凹凸性及拐點；

5、掌握凸函數概念及性質；

6、會求曲線各種類型的漸近線性。

第7章 實數的完備性

考試內容：

1．確界原理、閉區(qū)間套定理、柯西收斂準則、聚點定理、致密性定理、有限覆蓋定理、單調有界定理。

基本要求：

1、了解下列基本概念：區(qū)間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點、子列的概念；

2、了解實數完備性的七個等價定理的結論。

第8章 不定積分

考試內容：

1．原函數、不定積分、基本積分表、不定積分的線性運算法則。

2．第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法；

3．有理函數的積分、三角函數有理式的積分、某些簡單無理函數的積分；

基本要求：

1、掌握原函數與不定積分的概念，記住基本積分公式；

2、熟練掌握換元法、分部積分法；

3、熟練掌握有理函數積分步驟，并會求可化為有理函數的積分。

第9章 定積分

考試內容：

1．定積分定義、可積條件、三類可積函數

2．定積分的線性性質、對區(qū)間的可加性、單調性、絕對可積性、積分中值定理

3．變動上限的積分、牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法

基本要求：

1、掌握定積分定義、性質、可積條件，可積函數類。

2、熟練掌握微積分基本定理，并會熟練應用。

3、會熟練計算定積分。

第10章 定積分應用

考試內容：

1．平面圖形的面積、函數的平均值

2．由截面面積求立體體積

3．曲線的弧長

4．旋轉曲面的面積

基本要求：

1、要求能熟練計算各種平面圖形面積。

2、會求已知截面面積的物體和旋轉體的體積。

3、會利用定積分求孤長、旋轉體的側面積。

第12章 數項級數

考試內容：

1、數項級數收斂、發(fā)散、和的概念，柯西準則，收斂級數的性質

2、正級數的收斂原則、比較原則、比式判別法、根式判別法、積分判別法

基本要求：

1、掌握數項級數斂散的定義、性質。

2、熟練掌握正項級數的斂散判別法。

第13章 函數列與函數項級數

考試內容：

1．函數列的極限函數、函數項級數的和函數、函數列與函數項級數的一致收斂性、一致收斂柯西準則、 判別法

2．極限函數與和函數的連續(xù)性、可積性(逐項積分)、可微性(逐項微分)

基本要求：

1、掌握函數列及函數項級數的一致收斂定義。

2、掌握函數列、函數項級數一致收斂的判別法。

3、掌握函數列的極限函數、函數項級數的和函數的性質。

第14章 冪級數

考試內容：

1．冪級數、阿貝爾定理、收斂半徑和收斂域、內閉一致收斂性、和函數的連續(xù)性、可積性(逐項積分)、可微性(逐項微分)

基本要求：

1、熟練冪級數收斂域，收斂半徑，及和函數的求法。

2、了解冪級數的若干性質。

3、了解求一般任意階可微函數的冪級數展式的方法。特別牢固記住五種函數 、 、 、 、 的馬克勞林展式。

4、會利用間接法求一些初等函數的冪級數展式。

第15章 傅里葉級數

考試內容：三角級數、三角函數系的正交性、收斂定理、以 為周期的傅立葉級數。

基本要求：熟記傅里葉系數公式，并會求之。

第16章 多元函數極限與連續(xù)

考試內容：

1、平面點集的鄰域、內點、外點、界點、開集、閉集、區(qū)域、開區(qū)域、閉區(qū)域

2、二元函數的概念及幾何表示、任意多元函數的概念

3、二元函數的極限(重極限、累次極限)

基本要求：

1、了解平面點集的若干概念。

2、掌握二元函數二重極限定義、性質。

3、掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關系。

4、掌握二元連續(xù)函數定義、性質。

第17章 多元函數微分學

考試內容：

1、偏導數及其幾何意義

2、復合函數的偏導數及全微分

3、空間曲線的切線與法平面

基本要求：

1、熟練掌握可微、偏導數的意義。

2、掌握二元函數可微、偏導數、連續(xù)以及偏導函數連續(xù)等概念之間關系。

3、會計算各種類型的偏導數、全微分。

第18章 隱函數定理及其應用

考試內容：

1、隱函數概念、隱函數定理、隱函數導數

2、條件極值概念、拉格朗日乘數法

基本要求：

1、掌握由一個方程確定的隱函數的條件，隱函數性質，隱函數的導數（偏導）公式。

2、會求空間曲線的切線與法平面、會求空間曲面的切平面與法線。

3、掌握條件極值的拉格朗日乘數法。

第20章 重積分

考試內容：

1、二重積分概念、可積條件、性質

2、二重積分化為累次積分、 二重積分換元法(極坐標變換、 一般曲線變換)、含參量積分導數

3、分概念、性質(與二重積分相同)

4、分化為累次積分、 三重積分換元法(柱坐標變換、 球坐標變換)

基本要求：

1、了解二重積分、三重積分定義與性質。

2、掌握二重積分的換序和變量代換。